Pour La Science # 504, October 2019

Bien que les mathématiques soient aujourd’hui assises sur des systèmes d’axiomes bien solides, dans toute théorie axiomatique assez puissante pour englober l’arithmétique usuelle, on peut formuler des énoncés indécidables, c’est-à-dire dont la théorie ne peut ni prouver qu’ils sont vrais, ni prouver qu’ils sont faux.

L’un de ces énoncés indécidables est « l’hypothèse du continu ». Elle stipule qu’entre l’infini des nombres entiers, et l’infini des nombres réels, il n’existe pas d’intermédiaire. Or certains mathématiciens refusent d’admettre que l’hypothèse du continu soit indécidable. Ils cherchent donc à étendre le système axiomatique à la base des mathématiques de telle façon que cet énoncé, ou sa négation, puissent être prouvés. Comme Jean-Paul Delahaye l’explique dans ce numéro , les travaux récents de l’Américain Hugh Woodin sur les grands ensembles infinis laissent penser que l’objectif est à notre portée. Une nouvelle théorie de la hiérarchie des infinis s’imposerait alors.